Luogu4318 完全平方数

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题意：给出 ，求第 小的无平方因子的数。

多组数据，，。

二分，问题转化为求 以内无平方因子数个数。注意到 无平方因子，即求 的前缀和。（注意，此处 而非 ）

记 的最大平方因子。注意到 ，则有 这个结论也可以用容斥原理证明。

代入该式可得 其中 是分段的，且形成 段：

  • 时，每个 单独成段；
  • 时，，至多 段。

为了进行整除分块，需要快速求出连续段的末尾，即对于 求出最大的 满足 。套用之前的结论，满足 的最大的 是 ，现在要找出最大的 使得 ，即 。

复杂度 。

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#include <cstdio>
#include <cmath>

using ll = long long;
const int MaxN = 50005;

int p[MaxN/5], totP, mu[MaxN];
bool flag[MaxN];

void sieve(int n) {
    mu[1] = 1;
    for (int i=2; i<=n; i++) {
        if (flag[i] == false) {
            p[++totP] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j=1; j<=totP; j++) {
            int t = i*p[j];
            if (t>n) break;
            flag[t] = true;
            if (i%p[j] == 0) break;
            mu[t] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i=1; i<=n; i++)
        mu[i] += mu[i-1];
}

ll calc(ll n) {
    ll ans = 0;
    int l = 1;
    while(1ll*l*l <= n) {
        ll buf = n/(1ll*l*l);
        int r = sqrt(n/buf);
        ans += buf*(mu[r]-mu[l-1]);
        l = r+1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    sieve(5e4);
    
    int T;
    scanf("%d", &T);
    
    while(T--) {
        ll K;
        scanf("%lld", &K);
        ll l = 1, r = 2*K+100;
        while(l<r) {
            ll mid = (l+r)>>1;
            if (calc(mid)>=K)
                r = mid;
            else
                l = mid+1;
        }
        printf("%lld\n", r);
    }
    
    return 0;
}