题意：一个
面的均匀骰子，面上标号为 。计数器初始为 ，每次扔骰子，若结果是奇数，计数器清零；若结果是非
的偶数，计数器加 ，若结果是 ，则结束。求结束时计数器的期望。
记结束时计数器的值为 ，其 PGF
为 。
记字符集 ，随机过程可以看做自动机上的随机游走，但要修改字符串长度的定义为：最长偶数后缀的长度。
类似地定义 ，有
。（注意，由于修改了长度的定义，此时 ）仍有组合方程
此处 需要分两类讨论，记 ，对于
，串
，。
考虑从
加一个 则必然结束，有组合方程
翻译为 PGF 得
综上两式，解得